普林斯顿微积分读本

2.1　基本知识
2.2　三角函数定义域的扩展
2.2.1　ASTC方法
2.2.2　[0, 2π] 以外的三角函数
2.3　三角函数的图像
2.4　三角恒等式
第 3 章　极限导论
3.1　极限：基本思想
3.2　左极限与右极限
3.3　何时不存在极限}
3.4　在∞和-∞处的极限
3.5　关于渐近线的两个常见错误认知
3.6　三明治定理
3.7　极限的基本类型小结
第 4 章　如何求解涉及多项式的极限问题
4.1　包含当x → a时的有理函数的极限
4.2　当x → a时的涉及平方根的极限
4.3　当x → ∞时涉及的有理函数的极限
4.4　当x → ∞时的多项式型函数的极限
4.5　当x → ∞时的有理函数的极限
4.6　包含绝对值的极限
第 5 章　连续性和可导性
5.1　连续性
5.1.1　在一点处连续
5.1.2　在一个区间上连续
5.1.3　连续函数的例子
5.1.4　介值定理
5.1.5　一个更难的IVT例子
5.1.6　连续函数的最大值和最小值
5.2　可导性
5.2.1　平均速率
5.2.2　位移和速度
5.2.3　瞬时速度
5.2.4　速度的图像解释
5.2.5　切线
5.2.6　导函数
5.2.7　作为极限比的导数
5.2.8　线性函数的导数
5.2.9　二阶导数和更高阶导数
5.2.10　导数何时不存在
5.2.11　可导性和连续性
第 6 章　如何求解微分问题
6.1　使用定义求导
6.2　求导(好方法)
6.2.1　函数的常数倍
6.2.2　函数和与函数差
6.2.3　通过乘积法则求积函数的导数
6.2.4　通过商法则求商函数的导数
6.2.5　通过链式求导法则求复合函数的导数
6.2.6　一个令人讨厌的例子
6.2.7　乘积法则和链式求导法则的理由
6.3　求切线方程
6.4　速度和加速度
6.5　导数伪装的极限
6.6　分段函数的导数
6.7　直接画出导函数的图像
第 7 章　三角函数的极限和导数
7.1　涉及三角函数的极限
7.1.1　小数情况
7.1.2　问题的求解——小数的情况
7.1.3　大数的情况
7.1.4　“其他的”情况
7.1.5　一个重要极限的证明
7.2　涉及三角函数的导数
7.2.1　求三角函数导数的例子
7.2.2　简谐运动
7.2.3　一个古怪的函数
第 8 章　隐函数求导和相关变化率
8.1　隐函数求导
8.1.1　技巧和例子
8.1.2　隐函数求二阶导
8.2　相关变化率
8.2.1　一个简单的例子
8.2.2　一个稍难的例子
8.2.3　一个更难的例子
8.2.4　一个非常难的例子
第 9 章　指数函数和对数函数
9.1　基础知识
9.1.1　指数函数的回顾
9.1.2　对数函数的回顾
9.1.3　对数函数、指数函数及反函数
9.1.4　对数法则
9.2　e的定义
9.2.1　一个有关复利的例子
9.2.2　我们的问题的答案
9.2.3　关于e和对数函数的更多内容
9.3　对数函数和指数函数求导
9.4　如何求解涉及指数函数和对数函数的极限
9.4.1　涉及 e 的定义的极限
9.4.2　指数函数在0附近的行为
9.4.3　对数函数在1附近的行为
9.4.4　指数函数在∞或- ∞附近的行为
9.4.5　对数函数在 ∞ 附近的行为
9.4.6　对数函数在0附近的行为
9.5　对数函数求导
9.6　指数的增长和衰退
9.6.1　指数增长
9.6.2　指数衰退
9.7　双曲函数
第 10 章　反函数和反三角函数
10.1　导数和反函数
10.1.1　使用导数证明反函数存在
10.1.2　导数和反函数：可能出现的问题
10.1.3　求反函数的导数
10.1.4　一个重要的例子
10.2　反三角函数
10.2.1　反正弦函数
10.2.2　反余弦函数
10.2.3　反正切函数
10.2.4　反正割函数
10.2.5　反余割函数及反余切函数
10.2.6　计算反三角函数
10.3　反双曲函数
第 11 章　导数和图像
11.1　函数的极值问题
11.1.1　全局极值和局部极值
11.1.2　极值定理
11.1.3　怎样求全局最大值和全局最小值
11.2　罗尔定理
11.3　中值定理
11.4　二次导数及图像
11.5　对于导数为零点的分类
11.5.1　一次导数的应用
11.5.2　二阶导数的应用
第 12 章　如何绘制函数图像
12.1　怎样建立符号表格
12.1.1　制作一次导数的符号表格
12.1.2　制作二次导数的符号表格
12.2　绘制函数图像的完全方法
12.3　例题
12.3.1　一个不使用导数的例子
12.3.2　使用完全方法绘制函数图像：例1
12.3.3　例 2
12.3.4　例 3
12.3.5　例 4
第 13 章　最优化和线性化
13.1　最优化问题
13.1.1　一个简单的最优化例子
13.1.2　最优化问题：通常的方法
13.1.3　一个最优化的例子
13.1.4　另一个最优化的例子
13.1.5　在最优化问题中使用隐函数的求导方法
13.1.6　一个较难的最优化例题
13.2　线性化
13.2.1　线性化的归纳
13.2.2　微分
13.2.3　线性化的总结和例子
13.2.4　在我们估算过程中的误差
13.3　牛顿方法
第 14 章　洛必达法则及极限问题综述
14.1　洛必达法则
14.1　类型 A：0/0
14.1.2　类型 A：±∞/±∞
14.1.3　类型 B1(∞ – ∞)
14.1.4　类型 B2(0 × ±∞)
14.1.5　类型 C(1±∞,00或∞0)
14.1.6　洛必达法则类型的总结
14.2　关于极限的总结
第 15 章　积分
15.1　求和符号
15.1.1　一个有用的求和
15.1.2　伸缩求和法
15.2　位移和面积
15.2.1　三个简单的例子**
15.2.2　一段更常规的旅行**
15.2.3　有正负的面积
15.2.4　连续的速度
15.2.5　两个特别的估算
第 16 章　定积分
16.1　基本思想
16.2　定积分的定义
16.3　定积分的特性
16.4　求面积
16.4.1　求非代数和面积
16.4.2　求解两条曲线之间的面积
16.4.3　求曲线与y轴所围成的面积
16.5　估算积分
16.6　积分的平均值和中值定理
16.7　不可积的函数
第 17 章　微积分基本定理
17.1　以其他函数为积分的函数
17.2　微积分的第一基本定理
17.3　微积分的第二基本定理
17.4　不定积分
17.5　怎样解决问题：微积分第一基本定理
17.5.1　变形1：变量是积分下限
17.5.2　变形2：积分上限是一个函数
17.5.3　变形3：积分上下限都为函数
17.5.4　变形4：极限伪装成导数
17.6　怎样解决问题：微积分第二基本定理
17.6.1　计算不定积分
17.6.2　计算定积分
17.6.3　非代数和面积和绝对值
17.7　技术上的观点
17.8　微积分第一基本定理的证明
第 18 章　积分的方法：第一部分
18.1　替代法
18.1.1　换元法和定积分
18.1.2　怎样决定替代公式
18.1.3　换元法的理论解释
18.2　分部积分法
18.3　部分分式
18.3.1　部分分式的代数运算
18.3.2　对每一部分积分
18.3.3　方法和一个完整的例子
第 19 章　积分的方法：第二部分
19.1　应用三角函数公式的积分
19.2　关于三角函数的幂的积分
19.2.1　sin或cos的幂
19.2.2　tan的幂
19.2.3　sec的幂
19.2.4　cot的幂
19.2.5　csc的幂
19.2.6　递归公式
19.3　关于三角换元法的积分
19.3.1　类型1：
19.3.2　类型2：
19.3.3　类型3：
19.3.4　配方和三角换元法
19.3.5　关于三角换元法的总结
19.3.6　平方根的方法和三角换元法
19.4　积分技巧综述
第 20 章　反常积分：基本概念
20.1　收敛和发散
20.1.1　关于反常积分的一些例子
20.1.2　其他的破裂点
20.2　关于无穷区间的积分
20.3　比较判别法(理论)
20.4　极限比较判别法(理论)
20.4.1　函数互为渐近线
20.4.2　关于判别法的陈述
20.5　P 判别法(理论)
20.6　绝对收敛判别法
第 21 章　反常积分：如何解题
21.1　如何开始
21.1.1　拆分积分
21.1.2　如何处理负函数值
21.2　积分判别法总结
21.3　∞和-∞附近的常见函数
21.3.1　∞和-∞附近的多项式和多项式型函数
21.3.2　∞和-∞附近的三角函数
21.3.3　∞和-∞附近的指数
21.3.4　附近的对数}附近的对数
21.4　常见函数在0附近的情形
21.4.1　0附近的多项式和多项式型函数
21.4.2　0附近的三角函数
21.4.3　0附近的指数函数
21.4.4　0 附近的对数函数
21.4.5　0附近的更一般函数
21.5　如何应对不在0或∞处的瑕点}
第 22 章　数列和级数：基本概念
22.1　数列的收敛和发散
22.1.1　数列和函数的联系
22.1.2　两个重要数列
22.2　级数的收敛与发散
22.3　第n项判别法(理论)
22.4　无穷级数和反常积分的性质
22.4.1　比较判别法(理论)
22.4.2　极限比较判别法(理论)
22.4.3　p 判别法(理论)
22.4.4　绝对收敛判别法
22.5　级数的新判别法
22.5.1　比式判别法(理论)
22.5.2　根式判别法(理论)
22.5.3　积分判别法(理论)
22.5.4　交错级数判别法(理论)
第 23 章　如何求解级数问题
23.1　如何求几何级数的值
23.2　如何应用第n项判别法
23.3　如何应用比式判别法
23.4　如何应用根式判别法
23.5　如何应用积分判别法
23.6　如何应用比较判别法、极限比较判别法和p判别法
23.7　如何应对含负项的级数
第 24 章　泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论
24.1　近似值和泰勒多项式
24.1.1　重访线性化
24.1.2　二次近似
24.1.3　高阶近似
24.1.4　泰勒定理
24.2　幂级数和泰勒级数
24.2.1　一般幂级数
24.2.2　泰勒级数和麦克劳林级数
24.2.3　泰勒级数的收敛性
24.3　一个重要极限
第 25 章　如何求解估算问题
25.1　泰勒多项式与泰勒级数总结
25.2　求泰勒多项式与泰勒级数
25.3　用误差项估算问题
25.3.1　第一个例子
25.3.2　第二个例子
25.3.3　第三个例子
25.3.4　第四个例子
25.3.5　第五个例子
25.3.6　误差项估算的一般方法
25.4　误差估算的另一种方法
第 26 章　泰勒级数和幂级数：如何解题
26.1　幂级数的收敛性
26.1.1　收敛半径
26.1.2　如何求收敛半径和收敛区域
26.2　由旧泰勒级数求新泰勒级数
26.2.1　代换和泰勒级数
26.2.2　泰勒级数求导
26.2.3　泰勒级数求积分
26.2.4　泰勒级数相加和相减
26.2.5　泰勒级数相乘
26.2.6　泰勒级数相除
26.3　利用幂级数和泰勒级数求导
26.4　利用麦克劳林级数求极限
第 27 章　参数方程和极坐标
27.1　参数方程
27.2　极坐标
27.2.1　极坐标与笛卡儿坐标互换
27.2.2　极坐标系中画曲线
27.2.3　求极坐标曲线的切线
27.2.4　求极坐标曲线围成的面积
第 28 章　复数
28.1　基础
28.2　复平面
28.3　复数的高次幂
28.4　解 zn = w
28.5　解 ez = w
28.7　欧拉等式和幂级数
第 29 章　体积、弧长和表面积
29.1　旋转体的体积
29.1.1　圆盘法
29.1.2　壳法
29.1.3　总结和变式
29.1.4　变式1：区域在曲线和y轴之间
29.1.5　变式2：两曲线间的区域
29.1.6　变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转
29.2　一般固体体积
29.3　弧长
29.4　旋转体的表面积
第 30 章　微分方程
30.1　微分方程导论
30.2　可分离变量的一阶微分方程
30.3　一阶线性方程
30.4　常系数微分方程
30.4.1　解一阶齐次方程}
30.4.2　解解二阶齐次方程
30.4.3　为什么特征二次方程适用
30.4.4　非齐次方程和特解
30.4.5　求特解
30.4.6　求特解的例子
30.4.7　解决yP和_yH_间的冲突
30.4.8　IVP
30.5　微分方程建模
附录A　极限及其证明
A.1　极限的正式定义
A.1.1　小游戏
A.1.2　真正的定义
A.1.3　应用定义的例子
A.2　由原极限产生新极限
A.2.1　极限的和与差及证明
A.2.2　极限的乘积及证明
A.2.3　极限的商及证明
A.2.4　三明治定理及证明
A.3　极限的其他情形
A.3.1　无穷极限
A.3.2　左极限与右极限
A.3.3　在∞及-∞处的极限
A.3.4　两个涉及三角函数的例子
A.4　连续与极限
A.4.1　连续函数的复合
A.4.2　介值定理的证明
A.4.3　最大-最小定理的证明
A.5　重返指数函数和对数函数
A.6　微分与极限
A.6.1　函数的常数倍
A.6.2　函数的和与差
A.6.3　乘积法则的证明
A.6.4　商法则的证明
A.6.5　链式求导法则的证明
A.6.6　极值定理的证明
A.6.7　罗尔定理的证明
A.6.8　中值定理的证明
A.6.9　线性化的误差
A.6.10　分段函数的导数
A.6.11　洛必达法则的证明
A.7　泰勒近似定理的证明
附录B　估算积分
B.1　使用条纹估算积分
B.2　梯形法则
B.3　辛普森法则
B.4　近似的误差
B.4.1　估算误差的例子
B.4.2　误差项不等式的证明